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高等数学二 Advanced Mathematics II

高等数学二 Advanced Mathematics II

Last update 

高等数学二常用公式定理

Items (56)

  • 平面一般式方程:

    Ax+By+Cz+D=0

  • Ax+By+Cz+D=0的平面法向量:

    n=(A,B,C)

  • 有平面π₁,π₂; 其法向量n₁×n₂=0→

    n₁∥n₂→π₁∥π₂

  • 有平面π₁,π₂; 其法向量n₁·n₂=0→

    n₁⊥n₂→π₁⊥π₂

  • 有平面π1,向量a; a×n₁=0→

    a∥n₁→a⊥π₁

  • 有平面π1,向量a; a·n₁=0→

    a⊥n₁→a∥π₁

  • 设直线L₁,L₂,方向向量为s₁,s₂, s₁×s₂=0→

    s₁∥s₂→L₁∥L₂

  • 设直线L₁,L₂,方向向量为s₁,s₂, s₁·s₂=0→

    s₁⊥s₂→L₁⊥L₂

  • 设直线L₁方向向量为s₁, 平面π法向量为n, s₁×n=0

    s₁∥n→L₁⊥π

  • 设直线L₁方向向量为s₁, 平面π法向量为n, s₁·n=0

    s₁⊥n→L₁∥π

  • 已知平面π经过点M(x₀,y₀,z₀),且法向量为n=(A,B,C), 则平面π为:

    A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

  • 空间直线一般式:

    {A₁·x+B₁·y+C₁·z+D₁=0; A₂·x+B₂·y+C₂·z+D₂=0}

  • 空间直线一般式方向向量s=

    i(B₁C₂-B₂C₁)-j(A₁C₂-A₂C₁)+k(A₁B₂-A₂B₁)

  • 已知直线L₁过点M(x₀,y₀,z₀), 方向向量为s=(l,m,n),则直线L为

    (x-x₀)/l=(y-y₀)/m=(z-z₀)/n

  • 向量a=(a₁,a₂,a₃),b=(b₁,b₂,b₃),a×b=

    i(a₂b₃-a₃b₂)-j(a₁b₃-a₃b₁)+k(a₁b₂-a₂b₁)

  • 多元函数的微分dω=

    ∂ω/∂x·dx+∂ω/∂y·dy+∂ω/∂z·dz

  • 复合函数F=f(u,v,ω),u,v,ω均为关于x的函数, ∂F/∂x=

    ∂F/∂u·u'+∂F/∂v·v'+∂F/∂ω·ω'

  • 隐函数F(x,y,z)=0; ∂F/∂z=u, ∂F/∂x=v;→∂z/∂x=

    -(∂F/∂x)/(∂F/∂z)=-v/u

  • 若空间曲线方程(有参数)为{x=X(t); y=Y(t), z=Z(t)}, 则在点M(x₀,y₀,z₀)处切线方程为:

    [x-X(t₀)]/X'(t₀)=[y-Y(t₀)]/Y'(t₀)=[z-Z(t₀)]/Z'(t₀)

  • 若空间曲线方程(有参数)为{x=X(t); y=Y(t), z=Z(t)}, 则在点M(x₀,y₀,z₀)处法平面方程为:

    [x-X(t₀)]·X'(t₀)+[y-Y(t₀)]·Y'(t₀)+[z-Z(t₀)]·Z'(t₀)=0

  • 若空间曲线方程为{x²+y²+z²=6; z=x²+y²}, 则曲线在点M(x₀,y₀,z₀)处切线方程

    (x-x₀)/1=(y-y₀)/yₓ'(x₀)=(z-z₀)/Zₓ'(x₀),yₓ'(x₀)或Zₓ'(x₀)为零不可省略

  • 若空间曲线方程为{x²+y²+z²=6; z=x²+y²}, 则曲线在点M(x₀,y₀,z₀)处法平面方程

    (x-x₀)·1+(y-y₀)·yₓ'(x₀)+(z-z₀)·Zₓ'(x₀)=0,yₓ'(x₀)或Zₓ'(x₀)为零不可省略

  • 若曲面方程F(x,y,z)=0, 过点M(x₀,y₀,z₀)的切平面方程为

    Fₓ'(x₀,y₀,z₀)(x-x₀)+F'y(x₀,y₀,z₀)(y-y₀)+F'z(x₀,y₀,z₀)(z-z₀)=0

  • 若曲面方程F(x,y,z)=0, 过点M(x₀,y₀,z₀)的法线方程为

    (x-x₀)/Fₓ'(x₀,y₀,z₀)=(y-y₀)/F'y(x₀,y₀,z₀)=(z-z₀)/F'z(x₀,y₀,z₀)

  • 函数在x₀,y₀的(∂²z/∂x∂y)²-∂²z/∂x²·∂²z/∂y²=B²-AC < 0 时, ∂²z/∂x²=A< 0

    x₀,y₀为极大值

  • 函数在x₀,y₀的(∂²z/∂x∂y)²-∂²z/∂x²·∂²z/∂y²=B²-AC < 0 时, ∂²z/∂x²=A> 0

    x₀,y₀为极小值

  • 求齐次线性常微分方程的特征方程,y⁽ⁿ⁾变为

    rⁿ

  • 齐次线性常微分方程的特征方程有单重实根α,齐次解为

    C·e^αx

  • 齐次线性常微分方程的特征方程有一对共轭复根α±iβ,齐次解为

    e^αx·(C₁cosx+C₂sinβx)

  • 齐次线性常微分方程的特征方程有k重实根α,齐次解为

    e^αx·(C₁x+C₂x+…+Cₖxᵏ⁻¹)

  • 求非齐次线性常微分方程的特解先将x项变形为

    xᵐ·e^λx

  • 非齐次线性常微分方程x项的λ不是特征方程的根,则

    k=0

  • 非齐次线性常微分方程x项的λ是特征方程的单根,则

    k=1

  • 非齐次线性常微分方程的x项λ是特征方程的多重根,则

    k=2

  • 已知非齐次线性常微分方程x项的m,λ,k,则特解为

    y*=xᵏ(b₀xᵐ+b₁xᵐ⁻¹+…+bₘx⁰)e^λx

  • 极坐标面积元

    dxdy=rdθdr

  • 积分区域D关于y轴对称,右半部分D₁,若f(-x,y)=-f(x,y)

    ∬f(x,y)dσ, D;=0

  • 积分区域D关于y轴对称,右半部分D₁,若f(-x,y)=f(x,y)

    ∬f(x,y)dσ, D;=2∬f(x,y)dσ, D₁

  • 积分区域D关于x轴对称,上半部分D₁,若f(x,-y)=-f(x,y)

    ∬f(x,y)dσ, D;=0

  • 积分区域D关于x轴对称,上半部分D₁,若f(x,-y)=f(x,y)

    ∬f(x,y)dσ, D;=2∬f(x,y)dσ, D₁

  • 积分区域D关于原点对称,一半D₁,若f(-x,-y)=-f(x,y)

    ∬f(x,y)dσ, D;=0

  • 积分区域D关于原点对称,一半D₁,若f(-x,-y)=f(x,y)

    ∬f(x,y)dσ, D;=2∬f(x,y)dσ, D₁

  • 柱坐标体积元

    dxdydz=r·drdθdz

  • 球坐标体积元

    dxdydz=r²sinφ·drdθdφ

  • 球面公式

    (x-x₀)-(y-y₀)²-(z-z₀)²=R²

  • 椭球面公式

    x²/a²+y²/b²+z²/c²=1

  • 抛物面公式

    z=ax²+by²

  • 锥面公式

    z²=ax²+by²

  • 曲线积分的正向

    逆时针

  • 曲线积分的逆向

    顺时针

  • L为{x=X(t), y=Y(t);α≤t≤β},∫f(x,y)ds, L;=

    ∫f[X(t),Y(t)]·√[X'(t)²+Y'(t)²]dt, α to β

  • L为{y=Y(x), a≤t≤b},∫f(x,y)ds, L;=

    ∫f[x,Y(t)]·√[1+Y'(x)²]dx, a to b

  • L为{x=X(t), y=Y(t);α≤t≤β},∫[P(x,y)dx+Q(x,y)dy], L;=

    ∫[P(X(t),Y(t)]·X'(t)dt+Q[X(t),Y(t)]·Y'(t)dt, α to β

  • L为{y=Y(x);a≤t≤b},∫[P(x,y)dx+Q(x,y)dy], L;=

    ∫[P(x,Y(x)]dx+Q[x,Y(x)]·Y'(x)dx, a to b

  • 积分与路径无关的条件

    ∂Q/∂x=∂P/∂y

  • 若P,Q在L闭曲线围成的闭区域D内有定义

    ∮ [Pdx+Qdy], L;=∬[∂Q/∂x-∂P/∂y]dxdy, D